概要
問題文 → ■
公式解説 → ■
自分の提出 → ■ （$\Theta(N\log^2N)$ 時間）
解説で OEIS が引用されていた部分の補完など．
解法
$[x^N] \left(\frac{\sin \pi(\sqrt{1-x}}{\pi\sqrt{1-x}}\right)^A$ が知りたいものです．
$(\sin(\pi t)/\pi t)^A$ の母関数に $t=\sqrt{1-x}$ を代入するという方針を考えたくなりそうですが，これは代入するものの定数項が $0$ でないため，そのような形式的べき級数操作は定義されず失敗します．
代わりに $t=1-\sqrt{1-x}$ として，$\bigl(\sin(\pi (1-t))/\pi (1-t)\bigr)^A = \bigl(\sin(\pi t)/\pi (1-t)\bigr)^A$ を考えます．
$\sin(\pi t)^A = \sum_i a_i(\pi t)^i$ となる $a_i$ が計算できます．$(1-t)^{-A}=\sum b_i(1-t)^{-A}$ となる $b_i$ が計算できます．（単に適当な形式的べき級数の pow です．）
$$\bigl(\sin(\pi t)/\pi (1-t)\bigr)^A = \sum_{i,j}a_ib_j \pi^{i-A}t^{i+j} = \sum_{i,j}a_ib_j \pi^{i-A}\left(1-\sqrt{1-x}\right)^{i+j}$$
なので，$c_i = [x^N]\left(1-\sqrt{1-x}\right)^{i}$ により $c_i$ を定義すれば，答は
$$\sum_{i,j}a_ib_j \pi^{i-A}c_{i+j}$$
となります．$c_i$ が求まれば，答は畳み込み（または middle product）をとることで容易に計算できます．
最後に $c_i$ を OEIS 等を使わずに計算する方法について述べます．ひとつの方法は，単に power projection を求める問題だと思うものです．FPS $f$ に対する $[x^N]f(x)^i$ の列挙 ($0\leq i\leq N$) は $O(N\log^2N)$ 時間で求まるので，$f$ の形に注目する必要もなく直接求まります．私の提出ではこれを採用しています．
もうひとつは Lagrange 反転を使うものです．$f(x)=1-\sqrt{1-x}$ は $g(x)=2x-x^2$ の逆関数であることから，$[x^N]f^i(x)$ の列挙が $(2x-x^2)^{-N}$ の係数から求めることができて，これは二項係数などから求まります．（ $[x^N]\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^i$ が二項係数から求まるという Catalan Convolution Formula とほとんど同じ計算です．）
