A. Zhily and Bracket Swapping
$A[i], B[i] = (1,1), (-1,1), (-1,-1)$ のどれかだとしてよいです．
そして，いくつかのインデックスについて $(-1,1)\to (1,-1)$ ができる．という問題だと思えます．
- いたるところ prefix sum が非負になってください．
- 最後には sum が $0$ になってください．
どちらの条件も，$[0,i)$ 内で操作を行ったインデックスの個数がいくつ以上いくつ以下．という類の条件で書けます．
$L_i\leq x_i\leq R_i$，$x_i\leq x_{i+1}\leq x_i+c_i$ というタイプの制約があって，全部満たすように非負整数列 $x$ をとる．という問題に言い換えられます．
B. Zhily and Barknights
$a_ib_p > a_jb_q$ となる $(i,j,p,q)$ を数える．ということをやったあとで適切な係数をかければよいです．
$a_ib_p$ の形の数を全部計算して座標圧縮しておけば，Fenwick Tree 区間クエリの形になります．
C. Zhily and Signpost
ある頂点に到達するパターンは，そこから根までの次数の LCM の周期です．特に各頂点では
- LCM が $10^{18}$ を超えている．その頂点に到達しているクエリは高々 $1$ 種（すべて $m$ が等しい）である．
- LCM が変わらない（次数が LCM の約数）．クエリはすべて同じ方向に進む．
- その頂点からいくつかの方向にクエリが進む．LCM が増える．
という $3$ 種だけです．各頂点に来ているすべてのクエリを持って，LCM が増えない場合には一方向だけに進むようにすれば，計算量は $O(N + Q\log \max m_q)$ のようになります．
D. Zhily and Cycle
次のグラフを考えます．
- タイプ 1：$i\to a[i]$ に $1$ つの辺を張る．
- タイプ 2：$i\to i+1$ に好きな個数の辺を張る．
タイプ 1 の辺をすべて通る closed walk を求めよということになります．
タイプ 2 の辺の個数を調整した上で，eulerian walk を構成ということになります．
辺を張る個数は，入次数と出次数から決まってしまいます．
入次数と出次数を適切にした上で，連結性が必要十分条件です．
あとは Eulerian Walk を構築すればよいです．DFS による eulerian walk の構築をするのですが，タイプ 2 の辺の個数が巨大となる可能性があることに注意します．区間加算区間 min のセグメント木を持って，タイプ 2 の辺をまとめて消費できるようにして実装すればよいです．
この，区間を全部通る closed walk という設定は（$i\to i-1$ という辺がある場合も含めて）何度か既出なので，人によっては貼るだけだったんじゃないかな？（https://codeforces.com/contest/1685/problem/D2 など．私は最小コストだけ持ってて復元は持っていなかった）
E. Zhily and Permutation
まだ．
F. Zhily and Colorful Strings
まだ．
