A. Grandma Laura and Apples
後ろから順に決まっていきます．
B. Alice, Bob, Two Teams
適当な累積和を前計算すれば，prefix, suffix の長さを決めるごとに値が計算できます．
C. The Smallest String Concatenation
有名．$a+b<b+a$ という比較が文字列全体の preorder を定め，したがってこのソート順で結合したものが最小です．
D. Longest Subsequence
目標 $a=LCM$ を決め打ったとき，$a$ の約数全体を選ぶことが最適で，このときに実際に目標を達成しているかの判定とそのときの列の長さを計算できればよいです．`
目標達成に失敗するのは選んだ値の lcm が $a$ よりも小さいときなので，選んだ要素数が最大であるような $a$ のうち最小のものをとれば自動的に条件を満たしています．
E. Thief in a Shop
$f(x) = \sum x^a$ として，$f(x)^k$ を計算すればよいです．
F. Magic Matrix
完全グラフの辺重みと解釈します．
$x$ を任意にとり，$x$ 以上ならば $1$，$x$ 未満ならば $0$ であるように $2$ 値化して考えると，条件は，重み $0$ の辺の作る任意の成分がクリークであるということになります．最初の値で反例があるならばある $x$ を用いて $2$ 値化したものも反例を持つので，この条件が任意の $x$ で成り立つことが必要十分です．$x$ を昇順に動かしながらこれを判定します．
