A. Collatz Conjecture
$2^kx$ が条件を満たします．
B. Fun Permutation
$p_i+q_i=N+1$ となるようにすれば条件を満たします．
C. Maximum Even Sum
even の条件を無視すれば，$k=1$ または $k=b$ を調べることになります．
この場合に近くてこの場合と偶奇が変わりうる，$k=1,2,b/2,b$ を候補として調べます．
D. Replace with Occurrences
$b_i$ では各 $k$ の個数が $k$ の倍数になってることが必要で，その場合の構築も簡単です．
E. Mexification
初期状態での mex を $X$ とします．
$1$ 回の操作後では，
– 頻度 $2$ 以上だったものは $X$ に変化する．
– 頻度 $1$ だったものは $X$ とそれの $\min$ に変化する．
ため，最大値以外の頻度が $1$ 以下になります．よって，初期状態が「最大値以外の頻度が $1$ 以下」を満たすとしてよいです．
この状態での mex を改めて $X$ とします．$0,1,\ldots,X-1$ の頻度が $1$ であることから，それらは操作で不変になります．$X$ の個数が $1$, $2$ 以上で場合分けして，ここから先は周期 $2$ のパターンになることが分かります．
F. Prefix Maximum Invariance
各 $i$ に対して，$i$ が good になるような $[l,r]$ を数えるという方針にします．
$a_i=b_i$ ならば，$i\in [l,r]$ となる $[l,r]$ すべてが条件を満たします．
そうでないとき，$[l,i)$ に $a_i$ 以上の要素が必要です．$[l,i)$ に $b_i$ 以上の要素が必要です．
これらが十分条件になっていることも分かります．
G. Cry Me a River
適当な方法で「時刻」を定義します．時刻が増えるにつれて，赤頂点の個数が増えて，単調に River が勝ちやすくなります．
よって，次の値が定義できます．
– $\mathrm{dp}[v][player]$: 頂点 $v$ でプレイヤー $player$ 手番という状態からゲームを開始したときに，River 勝利になるような最小時刻．
これを topological 逆順に求めていけばよいです．
