A. Two Squares
交わるならば，座標が半整数の点でも交わります．座標が小さいので全探索してしまえばよいです．
B. Open Communication
少し条件がややこしいですが普通に全探索できます．
C. Careful Maneuvering
一機以上を攻撃できる $x$ 座標の候補が少なくて，その $2$ 個組も少ないです．
D. Compute Power
平均値の最小化は二分探索で行います．
二分探索内では dp をします．コストの大きいものから使い方を決めるようにして，各時点で「$2$ 回使うことにした回数」「$1$ 回使うことにした回数」の組を状態とすればよいです．
E. Nikita and Order Statistics
01 列があって，区間和の頻度集計をする問題になります．
累積和をとって，$A[r]-A[l]$ の集計をする問題だということにします．
$l<r$ という条件下で数えるべきですが，この条件を無視して数えたあと負の部分は捨てて，$0$ の部分だけ適切にすればよいです．
よって，$A[i]+B[j]$ の集計をするという問題になって，畳み込み一回で解けます．
F. The Moral Dilemma
公式解説が間違っているので注意してください（途中までは正しいです）．
コメントには独立集合列挙を含む解法があるようですが，多項式時間で解けます．
まず第 2 層のノード単体での出力について，通常モードの出力と反転モードの出力を $(y,z)$ とします．$(y,z)=(1,1)$ となるような入力がある場合，このノードは解に含めることはできません．
これがない場合，「常に $y=0$」「常に $z=0$」のうちちょうど一方が成り立ちます．さらに，入力が $(1,1,1,\ldots)$ であるときにもう一方の出力が $1$ になります．これらはこのノードに関係するネットワーク構造を全探索することで証明できます．これによって，ノードタイプを $2$ 種に分類します．
$2$ 種のノードが混ざっていると，入力が $(1,1,1,\ldots)$ であるときに矛盾します．よって調べるべき解の候補は，単一種類のノードだけからなる場合だけです．
$z=0$ タイプのノードのみからなる場合，反転モードでの第 $2$ 層は $(0,0,0,\ldots)$ となり，これらの nor として反転モードの出力は $1$ です．よって条件が成り立つためには，任意の入力に対して通常モードでの出力が $1$ であることが必要十分になります．これはノードが多いほど成り立ちやすい条件なので，このタイプのノードを全部ネットワークに含めた場合だけを検証すればよいです．
これで条件が成り立つかどうかを調べるには，通常モードでの出力が $0$ になるような入力が存在するかどうかを調べればよいです．さらにこのとき，第 2 層のノードは OR, NAND しかなくて，第 1 層のノードの値はすべて確定します．すると入力が満たすべき条件は two sat の形で書けるので線形時間で条件を判定可能です．
