A. Sieve of Erato67henes
$67$ は素数なので，$67$ の倍数があるという条件になります．
というわけで $67$ の倍数を作る問題だと思って解いてしまいましたが，制約から同値だったみたいですｗ
B. Heapify 1
自由にスワップ可能な $2$ 点を同じ成分としたときに，各成分内で好きにソートできます．
C. Dice Roll Sequence
向かい合う面同士を同じ状態と考えて $3$ 状態としてしまってもよいです．
最後の面を状態として dp を考えればよいです．貪欲でもいいね．
D. Absolute Cinema
$f(i+1)-f(i)$ を求めることで，$(a_1+\cdots+a_i)-(a_{i+1}+\cdots+a_n)$ のような和が求まります．
さらにその隣接差分から，$a_2,\ldots,a_{n-1}$ が求まります．
この状態から $a_1,a_n$ は，$f(n),f(1)$ から求まります．
E. Idiot First Search
$v$ から親に移動するときには印が消えているのが重要です．これをもとに，
- $dp[v]$：$v$ に居て印が何もないときに，親に移動するまでの移動回数．
として dp ができます．あとはこの値を根までのパスについて足したものが答となります．
F. Parabola Independence
独立集合を選ぶことは，$i_1,i_2,i_3,\ldots$ を選び，任意の $x$ で $f_{i_1}(x)<f_{i_2}(x)<\cdots$ が成り立つようにすることです．
結局 DAG があって，頂点ごとにそれを通る最長パスを求めるという問題になります．どのような DAG かというのは「任意の $x$ で $f_i(x)<f_j(x)$ ですか」を全点対で判定すればよいです．$2$ 次関数の判別式などを用いればよいです．ただし $x^2$ の係数が一致するもの同士の比較に注意します．
G. Idiot First Search and Queries
混乱したので強めの道具を使って対処しました．
$dp[v]$：$v$ に居て印が何もないときに，親に移動するまでの移動回数．これは求めておきます．modint ではなく適当な INF で chmin しておけばよいです．
第 $1$ フェーズとして，これを使ってまずなるべく親方向に移動させます．
binary lifting や HLD などの適当な木上のパスに関する二分探索でよいですし，私は後述の実装と合わせて平衡二分木を持ち出して処理しました．
第 $2$ フェーズとして，子方向に移動させていくことで答を確定させます．各頂点で，組 (steps, query index) のソート列を保持するというイメージです．親から受け取ったソート列に，第 $1$ フェーズで $v$ に置かれているクエリのデータを挿入します．
このうち steps が $0$ であるような prefix の答が $0$ です．steps が $1+dp[left(v)]$ 未満であるようなクエリは左部分木で処理されるため，$1+dp[left(v)]$ を全体から引いて左にもぐるということにします．ソート列の左の方を split して，全体加算という感じの処理ができればよいことになります．このような処理を平衡二分木で実装すればよいです．
第 $1$ フェーズで $\log^2$ 計算量にしてしまいましたが，これの回避は容易です．最小値取り出しだけなので meldable heap の類や単に prique などを使っても良かったかもしれません．
H. Codeforces Heuristic Contest 001
流石に自由度が高そうなので，ある程度大きければ全点回収できるだろうと予想しました．
$2\times 3$ の長方形がとれることに注目します．すると，$2n\times m$ の構築を $2n\times (m+3x)$ にしたり，$n\times 3m$ を $(n+2x)\times 3m$ にしたりできます．特に $9\times 9$ ができれば万事解決ということになります．
はじめ，$3\times 5$ や $3\times 7$ などで（プログラミングすらせず手作業で）適当にすぐ見つかるだろうと予想していたのですが，これは失敗でした．これは例えば $3\times 5$ には $(2i,2j)$ に相当する点が $6$ 個あり，$5$ 個の三角形のうちどれか $1$ 個はこの種類の点を $2$ 個使ってしまうからです．
そこで $5\times 9$ を考えました．この場合，$(2i,2j)$ に相当する点が $15$ 個あって三角形も $15$ 個なので，このタイプの点を $1$ つずつ使っていくように注意します．このことに注意しながら $2\times 3$ の長方形を適当に処理していけば，見つかりました．
