A. Souvlaki VS. Kalamaki
$a$ をソートしておく戦略を考えると，後手番で選ぶ $i$ について $a[i]=a[i+1]$ となっていることが十分です．
必要性も分かります．後手番時点で $[0,i)$ が下位 $i$ 個になっていることが必要ですし，その状況下で $a[i],a[i+1]$ は残り要素の下位 $2$ 個かつ等しいものになっている必要があります．
B. Siga ta Kymata
次は 1 にすることはできません：$1,n$ 番目および，$p_i=1,n$ であるような $i$ 番目．
他は $5$ 回でできます．$p_s=1,p_t=n$ として，$[1,n], [1,s], [1,t], [s,n], [t,n]$ を操作すればよいです．
要素を平面上の点 $(i,p_i)$ と見て図形的に理解することも可能です．$[1,s], [1,t], [s,n], [t,n]$ を操作して残ってしまう領域があるならば，それは真ん中の長方形で，$[1,n]$ の他，$s,t$ の大小に応じて $[s,t]$ または $[t,s]$ を $5$ 回目の操作とすることもできます．
C. Monopati
尺取り法を考えまず．$[L,R]$ を有効化したときの判定を高速にできればよいです．
down-right path の存在判定は次のようにできます：
- $(1,1)$ から可能な限り右に進むときの移動範囲を調べる
- $(2,n)$ から可能な限り左に進むときの移動範囲を調べる
- これらの区間が交わるかを判定
それぞれの行について，有効化されていないマスの集合を保持すればよいです．
D2. Diadrash (Hard Version)
まず，区間について包含関係 $I\subset J$ があるとき $I$ を取り除くという操作をします．これをやっても答は変わりません．
これを可能な限りやったあと適切にソートすると，区間を $[L_i, R_i)$ とするとき，適切にソートすれば単調性 $L_i<L_{i+1}$ かつ $R_i<R_{i+1}$ がある状態になります．
調べたい区間全体がソート列のようになって考えやすくなったので，この状態から二分探索のようなことを考えます．次のようにすればよいです．
- $n$ 個の区間が調査対象であるとき，$k=\lfloor n/2\rfloor$ として，$k$ 番目の区間 $[L_k,R_k)$ をクエリする．$x=ANS_k$ が得られたとする．
- 以降 $x$ より大きな解を探すことになる．まず $[0,R_k)$ をクエリする．これが $x$ だとすると，$[0,R_k)$ には $x$ が存在しないので，調べるべき区間は $k+1,k+2,\ldots,n-1$ 番目の区間に限定できる．
- これが $x$ より大きいとすると，今度は $[L_k,N)$ の中には $x$ が存在しないので，調べるべき区間は $0,1,\ldots,k-1$ 番目の区間に限定できる．
クエリ回数は区間の個数を $M$ として $2\log_2 M$ 程度です．包含を除いた状態では同じ左端 $L$ を持つ区間は高々 $1$ 個しかないので，これは $2\log_2 N$ 程度になっていて大丈夫です．
E. Plegma
連結性という設定はほぼ無視できて，結局 $0,1$ の $2$ 通りを上手く送り分けられればよいです．最終的には次のようにしました．
- $row_i, col_j$ に書かれた $1$ の個数 $x_i,y_j$ を比べる．
- $x_i<y_j$ であるとき，これらを送信することが $1$ を表すものとする．
- $x_i>y_j$ であるとき，これらを送信することが $0$ を表すものとする．
$\sum x_i = \sum y_j$ なので，この戦略で失敗するのは $x_1=\cdots=x_N=y_1=\cdots=y_N$ となるときだけです．さらに次のようにします．
- $row_i$ の先頭が $0$ で $col_j$ の先頭が $1$ のとき，これを送信することが $1$ を表すものとする．
- $row_i$ の先頭が $1$ で $col_j$ の先頭が $0$ のとき，これを送信することが $0$ を表すものとする．
$0<x_1=\cdots=x_N=y_1=\cdots=y_N<N$ のとき，ここまでの戦略で必ず目的のものを送信できます．
あとは，グリッド全体が $0$ やグリッド全体が $1$ のときが残ります（この場合には送信者のとれる選択肢がひとつしかないので，$0,1$ を送り分けることはできません）．ここで連結性などの問題設定を思い出せば，このようなパターンを受信した場合には $1$ と答えればよいです．
