A. Fashionable Array
ソートして，残す最小のものと最大のものの組を全探索でよいです．
B. Down with Brackets
左カッコは最も左にあるもの，右カッコは最も右にあるものを破壊するのが最適です．
C. Racing
$l_i$ 以上になるようななるべく小さい解を作って $r_i$ 以下であるかどうかチェックします．
D. Fewer Batteries
二分探索しました．判定問題では上限を固定して，各地点に対して，その地点で所持できる最大量を順に計算します．
E. Melody
$(a_1,b_1), (a_2,b_1), (a_2,b_2), (a_3,b_2), \ldots$ のように並べるということです．これを
$(a_1\to b_1), (b_1\to a_2), (a_2\to b_2), (b_2\to a_3)$ のように思うと，二部グラフを作って Eulerian Walk をとればよいことが分かります．（多重辺がないという制約があるので同じ値が $3$ 連続してしまうということにもなりません）
F. Faculty
まずは $i$ を固定して考えます．列は unique されているとしてよいです．
$a_1<a_2<\cdots<a_n$ の状況でスコアがどうなるかを考えます．
まず，$x < y$ のとき $x\leq f(x,y)\leq y$ が簡単に示せます．
すると，$x<y<z$ ならば $f(x,y)\leq f(y,z)$ です．このことから，最大の beauty を達成する $(a_i,a_j)$ であって $j=n$ を満たすものが存在することが分かります．つまり $2$ 数のうち一方は $\max(a)$ であるとしてよいです．
次に，$x<a_n<2x$ を満たす $x=a_i$ が存在するならば beauty は $a_n$ です．
これで解くために必要なことはすべてそろいました．
末尾に 1 要素を追加したとき
- 最大値が更新されないならば，最大値と追加要素の組を調べて答を更新する．
- 最大値が更新されるならば，
- 最大値の更新幅が $2$ 倍未満ならば，その新最大値が答になる．
- 最大値の更新幅が $2$ 倍以上ならば，新最大値と他の値の組を全部試すことで答を更新する．
とすればよいです．「全部試す」が行われるのは「最大値の更新幅が $2$ 倍以上」のときだけで，これは $O(\log(\max a))$ 回しかないということから計算量解析できます．
