A. Draw a Square
4 数が等しいかを判定．
B. The Third Side
$a,b$ があるとき次に書けるのは $a+b-1$ 以下で，ここから（操作順によらない）上界が出てきます．この上界は達成できます．
C. XOR and Triangle
実験して最小解と最大解を出力したら，最大解が $y = x-2^k$ の形だったのでそういうものを探索しました．$x$ が $2^k, 2^k-1$ の形でないときに $x$ の k-th bit がないところについて $y=x-2^k$ とすれば確かに条件を満たすことが証明できます．
D. Counting Points
$\sum r$ に関する制約より各円に対して調べるべき $x$ 座標の個数が少ないです．
E. Empty Triagle
ランダムな $3$ 点からはじめます．$(0,1,2)$ からはじめても良いはず．
現在の点を $(a,b,c)$，内部の点を $k$ として，$a, b, c$ のどれかランダムなものを $k$ に置き換えます．「保持している三角形に含まれる内部の点の個数」に注目すると，最もよいものを $k$ に置き換えたときにこれが $1/3$ 倍以下に減少します．adaptive ジャッジですが最もよいものを選べる確率はジャッジ側が制御できない部分なので確率 $1/3$ で内部の点の個数は $1/3$ 倍以下に減り，指定の制約は余裕で達成できます．
F. Counting Necessary Nodes
幅 $2^k$ のノードで，ある領域に含まれるものの個数を $k$ ごとに数えます．
これでは不要なものも数えてしまうことになりますが，不要なものは単に幅 $2^{k+1}$ のノードの個数の $4$ 倍です．
G. Game With Triangles: Season 2
円環を切り開いて点列 $0,1,\ldots,n-1$ と思います．点列 $l,\ldots,r$ の場合の答を dp[l][r] としてこれを短い区間から順に求めます．$(i,j,k)$ などと書けば $i<j<k$ を仮定します．
dp[l][r] の計算は次の通りです．まず，dp[l][m]+dp[m+1][r] の形の計算はすべてやっておきます．
使う 3 つ組 $(i,j,k)$ であって $k-i$ が最大のものに注目します．$l < i$ の場合は dp[l][i-1]+dp[i][r]，$k<r$ の場合は dp[l][k]+dp[k+1][r] として上の計算に含まれています．
よって足りていないのは，$(l,j,r)$ の形の 3 つ組を使うときだけです．これは dp[l+1][j-1]+dp[j+1][r]+cost(l,j,r) のように計算できます．
