A. Perfect Root
相異なる正整数 $n$ 個を出力すればよいです．
B. Prefix Max
$1+\binom{n}{2}$ 通りすべての方法を試しても間に合います．
C. Shifted MEX
$l,l+1,\ldots,r$ という連番が $a$ に現れている長さの最長です．
D. OutOfMemoryError
操作履歴を持っておくと，操作回数に比例する計算量で巻き戻せます．
E. The Robotic Rush
初期位置からいくつ左にずれると死亡，いくつ右にずれると死亡．という量を二分探索などで求めておきます．
左右それぞれ起こりやすいものから順に並べておくと，時刻ごとに，先頭にある死亡判定イベントを処理する形でよくなります．
F. BattleCows
勝者が新しいノードを作ると考えて木を作っておきます（セグメント木のようにインデックスをつけると簡単）．
各ノードにおいて，変更が来なかった場合の xor を求めておきます．
すると，クエリごとに，葉から登りながらそのノードに来た時点での xor および，対象の牛が何番目であるかを計算できます．
G. Mixing MEXes
$i$ ごとに 「すべての操作にわたる $\mathrm{MEX}(a_i)$ の和」を求めます．
$a_i$ から運び出す操作，持ってくる操作，$a_i$ が変更されない操作．などに対する計算を行います．
運び出す操作については，「列から $1$ 要素削除したとき mex はどうなりますか？」という計算です．初期状態の mex を $x$ として，削除する要素を $y$ としたとき，$y<x$ かつ $y$ の出現頻度が $1$ 回のときには削除後の mex は $y$，それ以外では mex は $x$ のままです．
持ってくる操作をしたときは，初期状態の mex を $x$ として，$x$ を持ってきた場合だけが $x$ 以外の値に変化します．そのときの mex およびその方法の個数などを適切に計算します．
全操作の個数を最初に求めておいて，上述の計算をしながら処理済の操作の個数を引いていくと，$a_i$ が変更されない場合の操作の個数も分かります．
やや計算ミスの起こりやすい作業量が多めだと思います．
H. BattleCows 2
敗北回数が $k$ 回以下という条件です．敗北というのは「左側に負ける」「右側に負ける」の $2$ 種があります．
「右側に負ける」という条件を整理すると，$j$ に負けるときには $a_1+\cdots+a_{j-1}<a_j$ が成り立つことが必要であることが分かります．これは $i$ の挿入前・挿入後の位置関係によらない必要条件です．
このような場所では prefix sum が $2$ 倍より大きくなります．よってそのような場所の候補が $O(\log \sum a_i)$ 個となって，少ないことが分かります．
これらを大事な $j$ として，事前に列挙しておきます．
これを踏まえて，$a_i$ を挿入する位置を固定したときの判定として，
- 大事な $j$ について，「$j$ が右側で $j$ に負ける」かどうかをチェックする．
- $i$ が左側に負けるかどうかをチェックする．
ことで敗北回数が求められます．
これを踏まえて．$i$ ごとに個別に答を求めます．$i$ および大事な $j$ のところなどで適切に座圧して，区間ごとに答を求めます．
座圧区間ごとに，「右側に負ける」イベントの回数は求まります．これが $k-1$ 以下または $k+1$ 以上の場合はそこで判定終了で，区間長を答に加算するなどします．
ちょうど $k$ 回の場合には，さらに左に負けるかどうかを調べることになります．これは適当な二分探索で求まります．
以上を適切に実装すると，全体で $O(n(\log \sum a_i + \log n))$ などの計算量で解けます．
