A. Eating Game
$a_i$ が $\max(a)$ に等しいときに勝てます．開始位置も一番有利な場所を選ぶとよいです．
それ以外だと勝てません．常に max だった人と比べて不利なことが示せます．
B. Deletion Sort
初期状態が単調増加の場合は自明です．そうでないとき，残り要素数が $1$ になるまで非単調増加を保てます．
減少する $2$ 数に注目し，これが残り続けるように操作すればよいです．
C. Specialty String
アスタリスクについては，削除して詰めると思いましょう．
隣接する等しい $2$ 文字を好きに削除することを可能な限り繰り返した結果は，操作順に依存しません．というのが有名です．実装は左から見ていって，同じ文字が並んだ瞬間に削除するという実装をして，空になるか否かが答です．
証明は結構難しいやつだと思います．「任意の削除順」と「先頭に近い位置から貪欲に削除する削除順」の結果が一致することを帰納法で示すことができます．
D. Portal
$\mathcal{O}$ の外側は境界位置のシフト，内側はサイクリックシフトです．
外側を $A$，内側を $B$ とすれば，「$B$ を好きにサイクリックシフトして $A$ の好きな位置に挿入」ということになります．
E. Divisive Battle
初期状態が単調増加の場合は自明に Bob です．
次に素べきでない要素があると Alice です．初手でその要素の最小素因数を $p$ とし，$xp$ と分解すると，この部分が増加列になることはありません．
最後にすべてが素べきであるとします．簡単のため $a_i>1$ として説明します（$a_i=1$ の部分の結論はほとんど同じです）．
各 $a_i$ が素数 $p_i$ のべき乗であるとして，$p_1\leq p_2\leq \cdots$ のときに Bob 勝ちです．操作不可能になった時点で単調増加だからです．そうでないとすると Alice 勝ちです．$p_i>p_{i+1}$ というところがあれば，$a_{i+1}$ を初手で $p_{i+1}x$ と分解すると，以降では $p_{i+1}$ が直前より小さい状態が維持され続けます．
F. Mooclear Reactor 2
まず追加アイテムがないとします．$k\leq y+1$ のものを，$k$ 個以下貪欲にとる．というパターンをすべての $k$ で試せばよいです．
追加アイテムに対応するには，すべての $k$ について
- $k\leq y+1$ のものを $k$ 個以下貪欲にとる．
- $k\leq y+1$ のものを $k$ 個未満貪欲にとる．
というパターンについて事前計算を行ってよけばよいです．
G. Operation Permutation
operation は，add, multiply の $2$ 種だと思えます（加法逆元を足す，乗法逆元をかける）．
それぞれの add および初項それぞれについて，ANS への寄与を考えればよいです．初項はすべての multiply をかければよいです．
add はその何倍が答に寄与するかは add される値によらないので，add 1 の寄与の期待値が分かればよいです．
multiply のうち add 1 の後ろに来る $n$ 個の部分集合を固定したときの確率は，適当な階乗や二項係数でかけます．その値を部分集合にわたって足せばよいです．結局，$\prod (1+a_ix)$ の形の多項式総積を求めておけばよいことになり，$O(n\log^2 n)$ 時間で解けます．
H. Six Seven
次のようにします．
– 足す値を $\bmod 6$ で決める．すべて $6$ の倍数にできなければ不可能．可能なら $0$ 以上 $5$ 以下の値を足してしまう．以降 6 ずつしか足せないという問題を解く．
– 足す値を $\bmod 7$ で決める．これは，$0,6,12,18,24,30,36$ の $7$ 通りを全探索する．以降 42 ずつしか足せないという問題を解く．
– この時点で $7$ の倍数にならなかった $a_i$ は以降無視する．
– 足す値を $\bmod 36$ で決める．$42$ を $5$ 回以下足して，すべて $36$ の倍数にできなければ不可能．可能ならそれを足してしまい，以降 252 ずつしか足せないという問題を解く．
– 足す値を $\bmod 49$ で決める．$252$ を $6$ 回以下足す $7$ 通りを全探索する．すべて $49$ の倍数にできなければ不可能．可能ならそれを足してしまい，以降以降 1764 ずつしか足せないという問題を解く．
こういう要領でやっていきます．
ある探索から次の探索 $7$ 個への分岐がありますが，「$7^k$ の倍数にならなかったら無視」ということになっているおかげで，再帰の $k$ 段目での数列の要素数の総和が $n$ でおさえられます．
あとは再帰の深さ（あるいは答の値）がおさえられるかです．再帰の $k$ 段目では，すべての値が $\pmod{42^k}$ で等しくなります．このことから，$\log_{42} \max a$ 程度の再帰深さで数列の要素が $1$ 種類になり，終了します．
