A. Robbery
隣接する項の和が変わらないのは，全体として，偶数番目に $+x$，奇数番目に $-x$ したというときのみです．
B. Widget Library
気合実装です，頑張りましょう．
C. Chip Play
全点を始点としてシミュレーションします．$O((nm)^2)$ 時間．
常に，それぞれの生き残っているマスから $4$ 方向にある最寄りの生き残っているマスを保持するようにすると，削除操作も次の点の発見も $O(1)$ 時間で行えます．
D. Space mines
ちょっと読解難ですが単純な幾何問題です．等速直線する球体が，球と線分の和集合にぶつかる最小時刻を求めるというもの．球の場合も線分の場合もどちらも適当な 2 次方程式で計算できます．
E. Fire and Ice
LR 列から操作列を復元しようとすると，RRRLLL → ARARARALLLA，RRLRL → ARARALAARALA のように，「R を AR に置換」「LLL…L の前後に A を挿入」のようになります．
だいたい次の問題になります．
- L, R 列を作れ．各線分を L によって通る必要のある最小回数が与えられる．R のコストは 2，L のコストは 1，RL がこの順に続くとコスト 2 である．
私は R のコストを $4$， RR のコストを -2 として計算しました．
各線分を通る回数を決めます．終点の手前では (L,R) = (n,n+1)，終点以降では $(L,R)=(n,n)$ の形になります．これらそれぞれのつなぎ目で R 同士をなるべくマッチさせる（$x,y$ 個あるときコスト $-2\min(x,y)$ である）として dp によりコストを最小化します．
復元は，R 方向の移動を結合させたあとで Eulerian walk で出来る（L 辺があるので連結性が保証される）．と思ったのですが，L 方向の移動が $0$ 回のところで問題が生じたので，R 方向の移動を結合するときに少し注意が必要でした．
